Alignement de trois points

Propriété

Soit \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points distincts.
Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text{C}\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires.

Démonstration

Soit \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) trois points distincts.
On sait, d'après la propriété précédente, que les droites \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont colinéaires.
Ceci peut aussi s'énoncer : les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text{C}\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires.

Exemple
Dans un repère \(\left( \text{O}~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère \(\text A \left(-4~;3 \right)\), \(\text B \left(1~;-5 \right)\) et \(\text C \left(11~;-21 \right)\) .

On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 5\\ -8 \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix} 15\\ -24 \\ \end{pmatrix}\).
On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :
\(\text{det}\left( \overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AC}}\right) = 5 \times (-24) - 15 \times (-8) = 0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires. Donc les droites \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) sont parallèles (confondues), ce qui signifie que les \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés.